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半正定値行列から誘導される擬距離

$V$を$F = \mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$上のベクトル空間とする.また$V$には内積の条件うち$\langle a, a \rangle = 0 \Rightarrow a \in \mathbf{0}$ (零ベクトル)のみを満たさない内積に似た関数$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow F$が定まっているとする.この時,関数$d: V \times V \rightarrow [0, \infty )$を$d(x,y) := \sqrt{ \langle x - y, x - y \rangle}$と定義すると,$d$は擬距離(pseudometric)である. また、内積が定まっている場合は$d$は距離(metric)である.(証明略)

Proof.

1. $d(x,y) \ge 0$
   正値性(positive-definiteness)より自明.
   1’. $d(x,x) = 0$
   正値性(positive-definiteness)より$x$が零ベクトルならば,$\langle x, x \rangle = 0$であるので$d(x,x) = \sqrt{\langle x -x, x-x \rangle}= 0$
2. $d(x, y) = d(y,x)$
   線型性(Linearity)より $d(x,y) = \sqrt{\langle x -y, x-y \rangle} = \sqrt{\langle y -x, y-x \rangle} = d(y,x)$
3. $d(x, z) \le d(x,y) + d(y,z)$
   内積の条件から$\langle a, a \rangle = 0 \Leftrightarrow a = 0$を除いた,性質を用いて三角不等式$\| a + b \| \le \| a\| + \|b\|$が示される.ただし、$\|\cdot\| = \sqrt{\langle \cdot,\cdot \rangle}$. 詳細は「基礎講義　線形代数学 二木昭人 p137-140」を参照. ゆえに,三角不等式に$a = x - y, b = y-z$を代入すると,

$$\begin{align*} &\| a + b \| \le \| a\| + \|b\|\\ \Leftrightarrow & \| x - z \| \le \|x - y \| + \| y - z\|\\ \Leftrightarrow & d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) \end{align*}$$

`

$A$は$n$次の半正定値対称行列 $\langle \cdot, \cdot \rangle :\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \langle a, b \rangle := a^T A b$を定義する.このとき,$\langle \cdot, \cdot \rangle$は内積の条件のうち「$\langle a, a \rangle \Rightarrow a \text{ is zero vector}$」のみを満たさない関数である.

Proof. $A$の対称性より内積の対称性(symmetry)、行列の線型性により内積に線型性(Linearity)、$A$の半正定値性によって内積の正値性が示される.(詳細は略)

$\mathbb{R}^n$上に対称半正定値行列$A$によって定まる関数$d_{\mathbb{R}^n}: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow [0, \infty), d_{\mathbb{R}^n}^A (x, y) = \sqrt{(x-y)^T A (x-y)} \quad (\forall x,y \in \mathbb{R}^n)$を定義する.このとき,$d_{\mathbb{R}^n}^A$は擬距離(pseudometric)である.

Proof.

本題の証明に戻る. $\mathbb{R}^n$は$\mathbb{R}$上のベクトル空間であり, $\begin{align*} d_{\mathbb{R}^n}^A (x, y) &= \sqrt{(x-y)^T A (x-y)}\\ &= \sqrt{\langle x - y, x-y \rangle} \end{align*}$ である.よって$d_{\mathbb{R}^n}^A (x, y)$は擬距離(pseudometric).