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0.1. 区間はsemialgebra(感覚を数式に落とし込む+細かい議論)

前提知識:有界,上限+下限

$\Omega =R,C\equiv \{I:I\text{is an interval}\}$. An interval $I$ in $R$ is a set in $R$ such that $a,b\in I,a<b\Rightarrow (a,b)\subset I$.

Then, $C$ is semialgebra, that is if (i) $A,B\in C\Rightarrow A\cap B\in C$ and (ii) for any $A\in C$, there exis sets $B_1,B_2,\dots ,B_k\in C$, for some $1\le k<\infty$, such that $B_i\cap B_j=\varnothing$ for $i\ne j$, and $A^c={\bigcup }_{i=1}^k{B}_i$

(Proof)

(i) $A,B\in C\Rightarrow A\cap B\in C$は定義通りに示せるので略.

(ii) for any $A\in C$, there exis sets $B_1,B_2,\dots ,B_k\in C$, for some $1\le k<\infty$, such that $B_i\cap B_j=\varnothing$ for $i\ne j$, and $A^c={\bigcup }_{i=1}^k{B}_i$.

を示す.

$I$をintervalとする.$I=\varnothing$と時は$I^c=R$となり$R$はIntervalであるのでOK.

$I$が単集合の時も自明であるので,以後$I$は空集合でも単集合でもないとする

$A\equiv \{x\in R\mid (-\infty ,x]\subset I^c\}$と定義する.

Intervalである$C$を以下のように定める.(​後に$D$を定めて,$I^c=C\cup D$であることを示す)

(1)$A=\varnothing$の場合

$I$は下に有界でない.この時は$C=\varnothing$と定める.

(2)$A$が上に有界でない場合

$A$の定義より$A=R$となるので$I^c=R$.これは$I=\varnothing$となり矛盾するので,(2)は起こり得ない

(3)$A$が上に有界である場合

上限が存在するので$c$とおく.

(3-1) $c\in I$ならば$C=(-\infty ,c)$と定義する.

(3-2)$c\notin I$ならば$C=(-\infty ,c]$と定義する

(1)~(3)のいずれの場合でも$A$の定義から

• 「$C$と$I$は互いに素」である.

• また$I$が上に有界ならば$b=supI$,有界でない場合は$b=\infty$と定めると$(-\infty ,b)\subset C\bigsqcup I$である(*1)

(*1)の証明

(1)すなわち$A=\varnothing$の場合は$I$は下に有界でないことを考慮すると簡単に示せる.

(3)の場合

$x\in (-\infty ,b)$を任意にとる.$x$より小さい実数で$I$に含まれるものが存在するなら,$b$とIntervalの定義より$x\in I$であることがわかる.そうでない場合, すなわち$(-\infty ,x]\subset I^c$の時を考える.

$c$の定義より$x\le c$である.この時(3-1),(3-2)のいずれの場合でも$x\in C$であることが示せるのでOK.

同様にして$\{x\in R\mid [x,\infty )\subset I^c\}$についても考えると以下のようなInterval $D$を作成することが出来る.

• $D$と$I$は互いに素
• $I$が下に有界ならば$a=infI$,有界でない場合は$a=-\infty$と定めると$(a, \infty) \subset D \sqcup I$

$I$が単集合でないことを考慮すると$(-\infty ,b)\cup (a,\infty )=R$であるので, $$R=(-\infty ,b)\cup (a,\infty )\subset C\cup D\cup I$$ 最後に$C$と$D$が互いに素であることを背理法を用いて示す.

$C$と$D$が互いに素でない場合は$A\equiv \{x\in R\mid (-\infty ,x]\subset I^c\}$が上に有界(上限を$c$とおく)かつ$\{x\in R\mid [x,\infty )\subset I^c\}$が下に有界(下限を$d$とおく)で, $$(-\infty ,c]\cap [d,\infty )\ne \varnothing$$ である時に限る.

一方で$x\in (-\infty ,c]\wedge d<x$を満たす$x$が存在するならば$c,d$の定義より$I^c=R$となり$I$が空集合となってしまうので矛盾.$x<c\wedge d=x$を満たす$x$が存在する場合も同様の理由で矛盾.よって,$(-\infty ,c]\cap [d,\infty )\ne \varnothing$を満たすならば$c=d$の時に限るがその場合$I$が単集合になり矛盾