[TOC]

0.1. Def(vector)

A vector space over a filed $F$ is a set $V$ together with two operations

• vector addition(or simply addition):$V\times V\to V:(v,w)\mapsto v+w$
• scalar multiplication $F\times V\to V:(a,v)\mapsto av$

that satisfy the eight axioms listed below.

1. Associativity of addition:

$u+(v+w)=(u+v)+w\forall u,v,w\in V$

1. Commutativity of addition:

$u+v=v+u\forall u,v\in V$

1. Identity element of addition:

$\exists 0\in V$, called the zero vector, such that $v+0=v$ for all $v\in V$

1. Inverse elements of addition:

$\forall v\in V,\exists -v\in V$, called the additive inverse of $v$, such that $v+(-v)=0$.

1. Compatibility of scalar multiplication with field multiplication:

$a\left(bv\right)=\left(ab\right)v\forall a,b\in F,v\in V$

1. Identity element of scalar multiplication:

$1v=v\forall v\in V$, where $1$ denotes the multiplicative identity in $F$.

1. Distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition:

$a(u+v)=au+av\forall a\in F,u,v\in V$

1. Distributivity of scalar multiplication with respect to field addition

$(a+b)v=av+bv$

Note

• Elements of $V$ are commonly called vectors.
• Elements of $F$ are commonly called scalars.

上記の定義から以下は簡単に示せる.

$0\cdot v=0\forall v\in V$ where $0$ is additive identity in $F$.

$(-1)v=-v\forall v\in V$ Where $-1$ is additive inverse of the multiplicative identity in $F$.

0.2. Def(Linear_subspace)

If $V$ is a vector space over a field $K$ and if $W$ is a subset of $V$, then $W$ is a subspace of $V$ if under operations of $V,W$ is a vector space over $K$.

Equivalently, a noempty subset $W$ is a subspace of $V$ if

$\forall w_1,w_2\in W\text{and}\forall a,b\in K\Rightarrow a{w}_1+b{w}_2\in W$

同値性は容易に示せるので省略

0.3. Def(商線形空間:quotient_space)

Let $V$ be a vector space over a field $K$, and let $N$ be a subspace of $V$. Then binary relation $\sim$ defined by $x\sim y\iff x-y\in N$ becomes equivalence relation, and $V/\sim \equiv \left\{\right[v]\mid v\in V\}=\{v+N\mid v\in V\}\equiv V/N$ where $v+N=\{v+n\mid n\in N\}$ becomes vector space over a field $K$, and called quotient space. In this case, the addition ${+}^{\prime }$ and multiplication ${\cdot }^{\prime }$ are defined by

• $(v+N){+}^{\prime }(w+N)=(v+w)+N$
• $\lambda {\cdot }^{\prime }(x+N)=\lambda x+N$

The Identity element of addition is $N$.

(proof) $\sim$が同値関係になるとは部分空間の定義から簡単に導くことが出来るので略.$V/\sim =V/N$も定義通りで示せるので略.ベクトル空間であることも定義通りで示せるので略.

0.4. Def(codimension)

If $W$ is a linear subspace of a finite-dimensional vector space $V$, then the codimension of $W$ in $V$ is the difference between the dimensions:

$\text{codim}\left(W\right)=\dim \left(V\right)-\dim \left(W\right)$

0.5. Def(maximal_proper_subspace)

A (proper) linear subspace is said to be maximal proper subspace if its any proper superset is (original) linear space.

• The dimension of maximal proper subspace of $n$-dimensional linear space is $n-1$.(証明略)
• A linear subspace $W$ of finite-dimensional vector space $V$ is maximal proper subspace if and only if the codimension of $W$ is one.

(2つ目のProof)

$W$のcodimensionが1である時にmaximal proper subspaceであることを証明する.

$W$の基底を$e_1,\dots e_{n-1}$と表すことにする.$W$を真に含む任意のlinear subspace$M$は$W$に含まれていない元を少なくとも1つは含んでいるのでそれを$e_n$とする.この時$e_1,\dots ,e_n$は一次独立である(背理法で示せる)であるので元の線形空間$V$の基底である.また$M$はlinear subspaceであるので$e_1,\dots ,e_n$ によって張られる空間を$M$は含んでおり,$e_1,\dots e_n$は$V$の基底であったので,$M=V$である.ゆえに$W$はmaximal proper subspaceである.

0.6. Def(内積空間:inner_product_space)

内積空間(inner product space)

An inner product space is a vector space $V$ over the fielf $F$ ($R$ or $C$) together with an inner product $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to F$ that satisfies the following three properties for ll vectors $x,y,z\in V$ and all scholars $a\in F$.

• Conjugate symmetry.

$⟨x,y⟩=\overline{⟨x,y⟩}$

• Linearity in the first argument:

$⟨ax,y⟩=a⟨x,y⟩$

$⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$

• Positive definite:

$⟨x,x⟩>0$, $x\in V\setminus \left\{0\right\}$

0.7. 内積空間の連続性

Let $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ be an inner product space over a field $R$ or $C$ and $a\in V$.

Then the function $f:V\to K:x\mapsto ⟨a,x⟩$ is continuous.

It is easy to prove by using Cauchy-Schwarz inequality, hence the proof is left to a reader.

0.8. 内積空間上の点と線分の距離

Let $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ be an inner product space over a field $R$ or $C$.

Then we consider the distance between a point $p\in V$ and the segment $a+tn$ where $a,n\in V$ with $\parallel n\parallel =1$ and $t\in [c,d]$.

最初に点$p$と直線上の点$a+tn(t\in R)$の距離を考える. $$\begin{array}{cc}\parallel a+tn-p{\parallel }^2& =⟨tn+(a-p),tn+(a-p)⟩\\ & =t^2\parallel n{\parallel }^2+t(⟨n,a-p⟩+\overline{⟨n,a-p⟩})+\parallel a-p{\parallel }^2\end{array}$$ よって,$⟨n,a-p⟩$の実部を$\alpha$,$\beta \equiv \parallel a-p{\parallel }^2\ge 0$と定義すると, $$\parallel a+tn-p{\parallel }^2=t^2+2\alpha t+\beta =(t+\alpha {)}^2+\beta -{\alpha }^2$$ であるので,点$p$と最も距離が小さい直線上の点$a_0$は. $$a_0=a-\alpha n=a-\frac{1}{2}(⟨n,a-p⟩+\overline{⟨n,a-p⟩})n$$ である.この時, $$⟨a_0-p,n⟩=⟨(a-p)-\frac{1}{2}⟨n,a-p⟩n-\frac{1}{2}\overline{⟨n,a-p⟩}n,n⟩=\frac{1}{2}(⟨a-p,n⟩-\overline{⟨a-p,n⟩})$$ となるので,$V$が$R$上の内積空間ならベクトル$a_0-p$と$n$は直行する.

逆に直線上の点$a_t\equiv a+tn$とすると, $$⟨a_t-p,n⟩=⟨(a-p)+tn,n⟩=⟨a-p,n⟩+t$$ であるので,ベクトル$a_t-p$と$n$が直交するとき,$t=-⟨a-p,n⟩$である.

よって,$V$が$R$上の内積空間なら点$p$から線分に垂線の足が降ろせれば,垂線の足の距離が点と線分の距離${min}_{t\in [c,d]}(\parallel a+tn-p\parallel )$になり,下ろせなければ点$p$と線分の端点の距離の片方が点と線分の距離になる.

0.9. Def(affine_manifold/hyperplane)

A subset of $S$ of a linear space $V$ is an affine manifold of $V$ if $S=Z+x^{\ast }$ for some linear subspace $Z$ of $V$ and some $x^{\ast }\in V$. If $Z$ is a maximal proper subspace of $V$ then we call $S$ a hyperplane.

0.10. 超平面の同値条件

Suppose $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ is $n$-dimensional inner product space over the field $F$ ($C$ or $R$) and $S\subset V$. Then $S$ is a hyperplane if and only if $S=\{x\in V\mid ⟨x,a⟩=b\}$ for some $a\in V\setminus \left\{0\right\},b\in F$

(Proof) $S$がhyperplaneと仮定するとmaximal proper subspaceである$Z$とベクトル$x^{\ast }\in V$が存在して, $S=Z+x^{\ast }$が成立する.$Z$はmaximal proper subspaceであるので$Z$は$n-1$次元である.ゆえに,部分空間は斉次方程式の解空間を用いる事で$a\in V\setminus \left\{0\right\}$が存在して,$Z=\{z\in V\mid ⟨z,a⟩=0\}$と表す事ができる.$z\in Z$に対して, $$⟨z+x^{\ast },a⟩=⟨z,a⟩+⟨x^{\ast },a⟩=⟨x^{\ast },a⟩$$ であるので,$b\equiv ⟨x^{\ast },a⟩$と定義すると$S=\{x\in V\mid ⟨x,a⟩=b\}$ となる.

逆に,$a\in R^n\setminus \left\{0\right\},b\in R$ が存在して $S=\{x\in V\mid ⟨x,a⟩=b\}$を満たすとする.

$Z\equiv \{x\in V\mid ⟨x,a⟩=0\},W=⟨a⟩$ ($a$によって張られる空間)と定義すると$Z=W^{\perp }$である.

よって,この定理より$V=W\oplus W^{\perp }$であるのでcodimenson of $Z$は１である.よってmaximal proper subsetの定義)より$Z$はmaximal proper subspaceである(subspaceであることは容易に示せる).

よって,$⟨x^{\ast },a⟩=b$を満たす$x^{\ast }$を1つ固定すると $S=Z+x^{\ast }$となる.例えば$x^{\ast }=\frac{b}{⟨a,a⟩}a$とすれば良い.

0.11. Def:半空間half_space

半空間(閉半空間),開半空間

Let $(H,⟨\cdot ⟩)$ be a finite-dimensional Hilbert space over a field $R$ and $a\in H,\alpha \in R$.

Then open half-space is defined by either of the two open sets below

• $H_{+}^{\circ }\equiv \{v\in H\mid ⟨a,v⟩>\alpha \}$
• $H_{-}^{\circ }\equiv \{v\in H\mid ⟨a,v⟩<\alpha \}$

A closed half-space is defined by the union of an open half-space and the hyperplane like

• $H_{+}\equiv \{v\in H\mid ⟨a,v⟩\ge \alpha \}$
• $H_{-}\equiv \{v\in H\mid ⟨a,v⟩\le \alpha \}$

Then open half-space is open and convex and closed half-space is closed and convex.

(proof)開半空間が開集合であることを示す(残りも同様に示せる)内積空間の連続性より$f:H\to R;v\to ⟨a,v⟩$と定義すると$H_{+}^{\circ }=f^{-1}\left(\right(\alpha ,\infty )$となるので開集合.凸性は定義通りすれば自明.

0.12. Def(span)

線形包

Let $S$ be a noempty subset of a vector space $V$. The span of $S$, denoted by $\text{span}\left(S\right)$, is the set containing of all finite linear combinations of vectors in $S$. For convenience, we define $\text{span}\left(\varnothing \right)=\left\{0\right\}$.

It is equivalent to the intersection $W$ of all subspaces of $V$ that contain $S$.

(Ex1) Let $S=\{v_i{\}}_{i=1}^k\subset V$, where $k\in N_{>0}$.Then $\text{span}\left(S\right)$ is also subspace of $V$.

部分空間の同値性)を使えば(Ex1)は容易に示せる.

0.13. Def(affine_space)

An affine space is a set $A$ together with a vector space $V$, and transitive and free (right) action of the additive group of $V$ on the set $A$: $+:A\times V\to A$. We note that the following properties are always sutisfied.

1. Associativity:$\forall a\in A,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in V,a+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(a+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}$
2. Right identity:$\forall a\in A,\overrightarrow{0}\in V,a+\overrightarrow{0}=a$
3. Free and transitive action:For every $a\in A$, the mapping $V\to A:v\mapsto a+v$ is a bijection.

The first two properties are simply defining properties of a (right) group action.

The third property characterizes free and transitive actions, the onto character coming from transitivity, and then injective character follows from the action being free.(1)

There is fourth property that follows from 1, 2 above:

1. Exsistence of one-to-one transitions: For all $v\in V$, the mapping $A\to A:a\mapsto a+v$ is a bijection.

Property 3 is often used in the following equivalent form.

1. Subtraction:For every $a,b$ in $A$, there exists a unique $v\in V$, denoted $b-a$ such that $b=a+v$ .

Every vector space $V$ may be considered as an affine space over itself(証明は容易なので略). This means that every element of $V$ may be considered eigher as a point or as a vector.

When considered as a point, the zero vector is commonly denoted $o$ (or $O$, when upper-case letters are used for points) and called the origin.

1,2から4が導きだせることは容易に示せるので証明略.

3と5が同値であることは定義から容易に示せるので証明略.

Proof (1)

任意の$b\in A$に対して,$+$がtransitiveであることから$b=a+v$を満たす$v\in V$が存在するので,全射.単射性も$+$がfreeであることから容易に示せる.

(Ex1)

$V$をfield$F$上のvector space, $v\in V,S\equiv \{v_i{\}}_{i=1}^k\subset V$ where $k\in N_{>0}$とする.この時$W\equiv \text{span}\left(S\right)$はspanの定義)よりベクトル空間である.また,$A\equiv v+\text{span}\left(W\right)$, $+:A\times W\to A:(a+w)\mapsto a+w$と定義する.この時$+$は$A$上のtransitive and free (right) actionであるので(簡単に証明できるので略),$A$はaffine spaceである.

例えば$V=R^2,v=(0,1{)}^t,S=\{(1,2{)}^t\}$とすると$W$は原点を通る傾き2の直線を表し,$A$は(0,1)を通る傾き2の直線を表す.

0.14. Def(linear_map)

Let $V$ and $W$ be vector spaces over the same field $K$. A function $f:V\to W$ is said to be a linear map (linear mapping, liniar transformation, linear function)

if $\forall u,v\in V,\forall c\in K$ the following two conditions are satisfied:

• additivity:$f(u+v)=f\left(u\right)+f\left(v\right)$
• homogeneity: $f\left(cu\right)=cf\left(u\right)$

(ex)有限次元ベクトル空間の線形関数 linear map of finite-dimensional vector space

$V,W$をfield$K$上の$n$次元ベクトルと$m$次元ベクトルとし$V,W$の基底を$\{e_i{\}}_{i=1}^n\subset V,\{f_i{\}}_{i=1}^m\subset W$とする.$F:V\to W$をlinear mapとした時に関数$F$の行列表現を考える.

$\{f_i{\}}_{i=1}^m$は$W$の基底なので任意の$i\in \{1,\dots ,n\}$に対して$F\left(e_i\right)={\sum }_{j=1}^m{a}_{ji}{f}_j=a_i^{T}f$ を満たす$a_{ji}$が存在する.ここで任意の$x\in V$に対して$x={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{e}_i$を満たす${\lambda }_i\in K$が存在するので, $$F\left(x\right)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}F\left(e_i\right)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\sum _{j=1}^m{a}_{ji}{f}_j=({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)\left(\begin{array}{c}{a}_1^T\\ ⋮\\ a_n^T\end{array}\right)f={\lambda }^T{A}^{T}f$$ ここで,$A=(a_1,\dots ,a_n)$

特に$R^n\to R^m$のlinear mapにおいてstandard basisを考える場合は $$F\left(e_i\right)=a_i^{T}f=a_i$$ となるので任意の$x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T\in R^n$に対して, $$F\left(x\right)=\sum _{i=1}^n{x}_{i}F\left(e_i\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i{a}_i=Ax$$

0.15. Def(affine_map)

A map $f:A\to B$ between two affine spaces is a affine map if it has a linear transformation $\varphi :A\to B$ such that, for $P,Q\in A$, $f\left(Q\right)-f\left(P\right)=\varphi (Q-P)$.

定義から分かるように$A,B$は同じ体(field)上のベクトル空間(vector space)を表す.

以下と同値

A map $f:A\to B$ between two affine spaces is a affine map if it has a linear transformation $\varphi :A\to B$ such that, for any $Q\in A$,

$f\left(Q\right)=f\left(0_A\right)+\varphi \left(Q\right)$

(ex)$f:R^n\to R^m$のaffine mapを考える.

$f:R^n\to R^m$がaffine mapだとする.

Affine mapの定義より任意の$x\in R^n$に対して$f\left(x\right)=f\left(0\right)+\varphi \left(x\right)$を満たす$\varphi :R^n\to R^m$のlinear mapが存在する.linear mapの例)より$\varphi \left(x\right)=Ax$を満たす$A\in R^{m\times n}$が存在するので$b\equiv f\left(0\right)$と定義すると$f\left(x\right)=Ax+b$と表せる.

逆に$f:R^n\to R^m:x\mapsto Ax+b$と表せたとする.

$\varphi :R^n\to R^m:x\mapsto Ax$と定義すると$\varphi$はlinear mapであり$f\left(x\right)=f\left(0\right)+\varphi \left(x\right)$であるので$f$はlinear map.

0.16. 定義域を拡張したアフィン写像もアフィン写像

任意の$i\in \{1,\dots ,n\}$に対して$f_i:X_i\to Y$がaffine mapとする.この時,

$f:{\prod }_{i=1}^n{X}_i\to Y:x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T\mapsto f_i(x_i)$と定義すると$f$はaffine mapである.

Proof

$f_i$はaffine mapより任意の$x_i \in X_i$に対して$f\left(x_i\right)=f_i\left(0_i\right)+{\varphi }_i\left(x_i\right)$を満たすlinear map ${\varphi }_i:X_i\to Y$が存在する.$X_1,\dots ,X_n,Y$は同じfield上のvector spaceであるので${\prod }_{i=1}^n{X}_i$もvector spaceであることは容易に示せる.よって,$\varphi :{\prod }_{i=1}^n{X}_i\to Y:x\to {\varphi }_i\left(x_i\right)$と定義すると,${\varphi }_i$がlinear mapであることから$\varphi$もlinear mapであることが示せる.よって,任意の$x\in {\prod }_{i=1}^n{X}_i$に対して, $$f\left(x\right)=f_i\left(x_i\right)=f_i\left(0_i\right)+{\varphi }_i\left(x_i\right)=f\left(0\right)+\varphi \left(x\right)$$ であるので$f$はaffine map.

また,${\prod }_{i=1}^n{X}_i$がaffine spaceであることは定義に沿って証明できる.

0.17. アフィン写像の線形和はアフィン写像

$f,g:X\to Y$がaffine mapとする.ただし,$X,Y$はfield$K$上のvector spaceとする.

この時,任意の任意の$\alpha ,\beta \in K$に対して$h:X\to Y:x\mapsto \alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)$はaffine map

(Proof)

$f,g$はaffine mapであるのでlinear maps $\varphi ,\psi :X\to Y$が存在して任意の$x\in X$に対して, $$f\left(x\right)=f\left(0\right)+\varphi \left(x\right),g\left(x\right)=g\left(0\right)+\psi \left(x\right)$$ を満たす.また,$\gamma :X\to Y:x\mapsto \alpha \varphi \left(x\right)+\beta \psi \left(x\right)$と定義すると$\gamma$はlinear mapであり,簡単な計算から $$h\left(x\right)=h\left(0\right)+\gamma \left(x\right)$$ である.よって,$h$はaffine map.

$p_0\equiv P^{\prime }\left(0\right),p_1\equiv P^{\prime }\left(1\right)$と定義する.この時,$P^{\prime }\left(S\right):R\to R^2:s\mapsto p_0+s(p_1-p_0)$はaffine mapである.

$\varphi \left(s\right):R\to R^2:s\mapsto s(p_1-p_0)$と定義すると,$\varphi$はlinear transformationであり任意の$s_1,s_2\in R$に対して,$P^{\prime }\left(s_1\right)-P^{\prime }\left(s_2\right)=\varphi (s_1-s_2)(P_1-P_0)$であるので$P^{\prime }$はaffine map