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0.1. 部分空間は斉次方程式の解空間

$W$を$n$次元ベクトル空間$V$上の部分空間(subspace)とする.$W$の次元数は$k(1\le k\le n)$とする.$W^{\perp }$ ($W$の直交補空間)の正規直交基底を$e_{k+1},\dots ,e_n$とすると

$W=\{x\in V\mid ⟨e_j,x⟩=0,k+1\le j\le n\}$

である.

(Proof)

1次独立なベクトルを順にとっていくことで$W$の基底を求めることができる(次元数$k$が定まる)ことに注意.また,$V=W\oplus W^{\perp }$であり,シュッミットの直交化法を用いるて$W$の正規直交基底を$e_1,\dots ,e_k$とした時,$W^{\bot}$の定義より $V$の正規直交基底を,$e_1,\dots ,e_n$となっている.

ここで,$x\in V$を任意にとると$x={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{e}_i$と表されるので, $$⟨e_j,\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{e}_i⟩=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i⟨e_j,e_i⟩={\lambda }_j$$ であるので,$x$が問題文中の集合に含まれるなら,$k+1\le \forall j\le n$に対して${\lambda }_j=0$となるので,$W$の元である.逆に$x\in W$であるなら,$x={\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{e}_i$と表されるので$k+1\le \forall j\le n$に対して,$⟨e_j,x⟩=0$であるので文中の集合に含まれる.

0.2. 適切に列を追加することで階数と同数の列ベクトルが一次独立になる

Let $K$ be a field, $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in K^{m\times n}$ with rank$\left(A\right)=s$. If $k(0\le k<s)$ columns are linearly independent, we can add some columns so that they are linearly independent

(Proof)$a_1,a_2,\dots ,a_k$が線型独立(linearly independent)であるとしても一般性を失わない.この列ベクトルの集合に任意のベクトルを追加しても一次従属であるとすると,$k+1\le \forall i\le n$に対して$a_i$は$a_1,a_2,\dots ,a_k$の一次結合で表せる.これを記号で表すと, $$a_i\in ⟨a_1,a_2,\dots ,a_k⟩(k+1\le \forall i\le n)$$ よって, $$⟨a_1,a_2,\dots ,a_k⟩=⟨a_1,a_2,\dots ,a_n⟩$$ であるので,$⟨a_1,a_2,\dots ,a_n⟩$の次元は$k$となる.

一方で$A$のrankは1次独立な列ベクトルの最大個数と同じであるので$s$個の一次独立な列ベクトルで$⟨a_1,a_2,\dots ,a_n⟩$の基底となるものが存在する.よって$⟨a_1,a_2,\dots ,a_n⟩$の次元は$s$.ゆえに次元が一致しないので矛盾.つまり,少なくとも列ベクトルを1つ追加しても線形独立になるようにできる.

0.3. Def(線形写像:linear_map)

Let $V$ and $W$ be vector spaces over the same field $K$. A function $f:V\to W$ is said to be a linear map if for any two vectors $u,v\in V$ and any scholar $c\in K$ the following two conditions are satisfied:

• $f(u+v)=f\left(u\right)+f\left(v\right)$ additivity
• $f\left(cu\right)=cf\left(u\right)$ homogeneity

0.4. 線形写像の連続性の同値条件

Let $(X,\parallel \cdot {\parallel }_X)$ and $(Y,\parallel \cdot {\parallel }_Y)$ be normed spaces over a field $K$ ($R$ or $C$), $F:X\to Y$ be a linear map.

Then the following conditions are equivalent.

1. $F$ is bounded on ${\overline{B}}_r\left(0\right)$ for some $r>0$ where ${\overline{B}}_r\left(0\right)$means a closed ball.
2. $F$ Is continuous at $0$.
3. $F$ Is continuous on $X$.
4. $F$ Is uniformly continuous on $X$.
5. There exist some $\alpha >0$ such that $\parallel F\left(x\right){\parallel }_Y\le \alpha \parallel x{\parallel }_X$ for all $x\in X$.
6. The zero space $Z\left(F\right)$ of $F$ is closed in $X$ and the linear map $\tilde{F}:X/Z\left(F\right)\to Y$ defined by $\tilde{F}(x+Z\left(F\right))=F\left(x\right)$, $x\in X$, is continuous.

(proof) (5)→(4)→(3)→(2)→(1)は定義通りに証明出来るので(1)→(5)と(3)⇆(6)を証明する.

まず(1)→(5)を証明する.仮定よりある半径$r$が存在して${\overline{B}}_r\left(0\right)$では$F$が有界であるので上界を$\beta$と表記すると,$\parallel F\left(x\right){\parallel }_Y\le \beta$ for all $x\in {\overline{B}}_r\left(0\right)$となる.$x\ne 0$でないときは$r\frac{x}{\parallel x{\parallel }_X}\in {\overline{B}}_r\left(0\right)$となるので,$F$の線型性より $$\parallel F\left(x\right){\parallel }_Y=\frac{\parallel x{\parallel }_X}{r}\Vert F\left(\frac{rx}{\parallel x{\parallel }_X}\right)\Vert \le \frac{\beta }{r}\parallel x{\parallel }_X$$ この不等式は$x=0$でも成立するので証明終了.

次に(3)→(6)の証明する.ノルム空間は$T_1$ spaceであるので$\left\{0\right\}$は閉集合である.また,$F$は連続であるので$Z\left(F\right)\equiv F^{-1}\left(\right\{0\left\}\right)$も閉集合である.ゆえに$X/Z\left(F\right)$上にquotient norm)$\parallel \cdot {\parallel }_X^{\prime }$を定めることが出来る.この時以下の計算から${\tilde{F}}^{\prime }$はwell definedであることが分かる. $$x_1+Z\left(F\right)=x_2+Z\left(F\right)\Rightarrow \tilde{F}(x_1+Z(F\left)\right)=\tilde{F}(x_2+Z(F\left)\right)\Rightarrow F\left(x_1\right)=F\left(x_2\right)$$ また連続ならば問題文中の5.も成立することを上で示したので,ある正の数$\alpha >0$が存在して,

$\parallel F\left(x\right){\parallel }_Y\le \alpha \parallel x{\parallel }_X$が任意の$x\in X$に対して成立することが分かる.ゆえに$x\in X$, $z\in Z\left(F\right)$ならば $$\parallel \tilde{F}(x+Z(F\left)\right){\parallel }_Y=\parallel \tilde{F}(x+z+Z(F\left)\right){\parallel }_Y=\parallel F(x+z){\parallel }_Y\le \alpha \parallel x+z{\parallel }_X$$ これが任意の$z\in Z\left(F\right)$について成立しているので,

また,$\parallel x+Z\left(F\right){\parallel }_X^{\prime }={inf}_{z\in Z\left(F\right)}\parallel x+z{\parallel }_X$であるのであるので$\frac{1}{\alpha }\parallel \tilde{F}(x+Z(F\left)\right){\parallel }_Y\le \parallel x+Z\left(F\right){\parallel }_X^{\prime }$が成立するので$\tilde{F}$は連続

次に(6)→(3)を示す.$x\in X$, $z\in Z\left(F\right)$ならば$\parallel x+z{\parallel }_X\le \parallel x{\parallel }_X+\parallel z{\parallel }_X$であるので任意の$x\in X$に対して, $$|x+Z\left(F\right){\parallel }_X^{\prime }=\underset{z\in Z\left(F\right)}{inf}\parallel x+z{\parallel }_X\le \parallel x{\parallel }_X$$ を満たす.また,$\tilde{F}$に対して(5)が成立しているので$\alpha >0$が存在して任意の$x\in X$に対して $$\parallel F\left(x\right){\parallel }_Y=\parallel \tilde{F}(x+Z(F\left)\right){\parallel }_Y\le \alpha \parallel x+Z\left(F\right){\parallel }_X^{\prime }\le \alpha \parallel x{\parallel }_X$$ ゆえに$F$は連続である.

参考資料

0.5. 不連続線形写像:discontinuous_linear_map

Let $X=C^1\left(\right[0,1\left]\right)$ and $Y=C\left(\right[0,1\left]\right)$ with sup norms) where $C^n\left(\right[0,1\left]\right)$ means class $C^k$ real-valued function on $[0,1]$. Then we define $F:X\to Y;f\mapsto f^{\prime }$, the derivative of $f$. Then $F$ is linear but not continuous.

(proof)$F$が線形であることは自明なので連続でないことを示す.$f_n\left(t\right)=t^{n}t\in [0,1]$と定めと$\parallel f_n{\parallel }_{\infty }=1$でだが,任意の自然数$n\ge 1$に対して$\parallel F\left(f_n\right){\parallel }_{\infty }=\parallel f_n^{\prime }{\parallel }_{\infty }=n$となる.ゆえに連続性の同値条件(5.)が成立しないので連続でない.

0.6. ノルム空間は弧状連結

Let $(V,\parallel \cdot \parallel )$ be a normed vector space over a field $R$ or $C$. Then $V$ is path-connected.

(proof)$x_0,x_1\in X{x}_0\ne x_1$を任意にとる.この時$x_0$から$x_1$のパス$f:[0,1]\to V;t\mapsto (1-t)x_0+t{x}_1$は一様連続となる.実際,任意の$t,t^{\prime }\in [0,1]$に対して $$\parallel f\left(t\right)-f^{\prime }\left(t\right)\parallel =|t-t^{\prime }|\parallel (x_1-x_0)\parallel$$ であるので$f$は一様連続であるので特に連続.

0.7. Def(内積空間:inner_product_space)

An inner product space is a vector space $V$ over the field $F$ ($C$ or $R$) together with an inner product $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to F$ that satisfies the following three properties for all vectors $x,y,z\in V$ and all scholars $a\in F$

• Conjugate symmetry:

  $⟨x,y⟩=\overline{⟨x,y⟩}$

• Linearity In the first argument:

  $⟨ax,y⟩=a⟨x,y⟩$

  $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$

• Positive-definite:

  $⟨x,x⟩>0x\in V\setminus 0$

0.8. Def(直交補空間:orthogonal_complement)

Let $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ be an inner product space over the field $F$ ($C$ or $R$).

Then the orthogonal complement of $U\subset V$ is defined as $U^{\perp }=\{v\in V\mid ⟨v,u⟩=0,\forall u\in U\}$

0.9. 部分空間と直交補空間は直和

Let $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ be a finite dimensional inner product space over the field $F$ ($C$ or $R$). Then $V=W\oplus W^{\perp }$(証明略)

0.10. 正規直交系によるベクトル分解

Suppose vector space $V$ over the field $F$ ($C$ or $R$) is an inner product space together with an inner product $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ and $\{e_i{\}}_{i=1}^n$ are orthonormal. Then for any $v\in V$, the following equation holds.

$v={\sum }_{i=1}^n⟨v,e_i⟩e_i$

右辺を$u$とおく。この時$u$と$e_i$との内積をとると、 $$⟨u,e_i⟩=⟨\sum _{i=1}^n⟨v,e_i⟩e_i,e_i⟩=⟨v,e_i⟩\forall i\in \{1,\dots n\}$$ であるので、$\forall i\in \{1,\dots n\}$に対して、$⟨u-v,e_i⟩=0$である。

ここで$\{e_i{\}}_{i=1}^n$は正規直交規定であるので $$u-v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{e}_i$$ となる${\lambda }_i$が存在する。この時 $$0=⟨u-v,e_i⟩=⟨\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{e}_i,e_i⟩={\lambda }_i$$ であるので、$\forall i\in \{1,\dots n\}$に対して${\lambda }_i=0$である。ゆえに $$u-v=0\iff u=v$$