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0.1. Def(Parallelepipeds)平行多面体

Voumes of Parallelepipeds(p4~)をまとめたリンク切れ用

シュミットの直交対角化を復習しながら読めば30分~2時間以内に読み終わると思う. p4 Volumes of Parallelepipedsから読めばOK

Let $a,x_1,\dots ,x_k\in R^n$. Then $k$-dimensional parallelepiped in vector space $R^n$ is defined as

$P\equiv \{a+t_1{x}_1+\cdots +t_k{x}_k\mid 0\le t_i\le 1,i=1,\dots ,k\}$

where the vectors $x_1,\dots ,x_k$ are called edges of $P$.

The volume of $P$ is the product of a certain "base" and "altitude" of $P$. The base of $P$ is the volume of the $(k-1)$-dimensional parallelepiped with edges $x_2,\dots ,x_k$. The lemma1(Voumes of Parallelepipeds, p4) gives $x_1=B+C$ so that $B$ is orthogonal to all of the $x_i,i\ge 2$ and $C$ is in the span of the $x_i,i\ge 2$. The altitude is the length of $B$.

Note:

• The volume of $1$-dimensional parallelepiped is defined the length of the edge.
• The volume is independent on ordering of the vertices.(showing below)

Threorem7

n次元の平行多面体の体積は多面体を構成するベクトルを並べた行列の行列式の絶対値で与えられる

Given an $m$-dimensional parallelepiped in $R^n$, whose edges are ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\in R^n$. Define $A$ as

$$A\equiv \left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_m\end{array}\right)$$

Then $\text{vol}(P{)}^2=det(A{A}^T)$.

また,定義通り計算することで平行多面体のアフィン変換による像は平行多面体であることが示される

0.2. Def(ellipsoid)

An ellipsoid, centered $v$, is defined by the solutions to $x$ to the equation

$(x-v{)}^{T}A(x-v)=1$

where $A$ is a positive definite matrix.

直感的な理解.$A$はpositive definiteよりコレスキー分解によって$A=L{L}^T$を満たす下三角行列$L$が存在する.よって,方程式は$\parallel L^T(x-v){\parallel }_2^2=1$となる.$A$がpositive definiteであることから$L^T$はinvertibleである.よって,$y\equiv x-v$,$z\equiv L^{T}y$と定義すると$\parallel z{\parallel }_2^2=1$であることから,$y\equiv (L^T{)}^{-1}z$は原点を中心としたellipsoidを表す.よって,$x=y+v$は中心が$v$のellipsoidを表す.

0.3. 楕円のアフィン変換は楕円

Let $f:R^n\to R^n$ be an affine map. Then, from the definiton of affine map), there exists $A\in R^{n\times n},b\in R^n$ such that $f\left(x\right)=Ax+b$. Then, if $A$ is invertible

(1) $f$ maps an ellipse to an ellipse.

Proof (1)

$x$が中心$v\in R^n$,正定値行列$\Sigma \in R^{n\times n}$によって特徴付けられた楕円上の点)つまり,

$(x-v{)}^T\Sigma (x-v)=1$

を満たすとする.この時,$y\equiv f\left(x\right)=Ax+b$と定義すると$x=A^{-1}(y-b)$であるので上式に代入することで $$(y-(Av+b\left){)}^T\right(A^{-1}{)}^T\Sigma A^{-1}(y-(Av+b\left)\right)=1$$ となる.ここで,任意の$z\in R^n\setminus 0$に対して$\Sigma$が正定値であることに注意すると, $$z^T(A^{-1}{)}^T\Sigma A^{-1}z=(A^{-1}z{)}^T\Sigma \left(A^{-1}z\right)>0$$ であるので,$(A^{-1}{)}^T\Sigma A^{-1}$も正定値である.よって$y$は中心$Av+b$,正定値行列$(A^{-1}{)}^T\Sigma A^{-1}$によって特徴づけられた楕円上の点である.

逆に$y\in R^n$が $$(y-(Av+b\left){)}^T\right(A^{-1}{)}^T\Sigma A^{-1}(y-(Av+b\left)\right)=1$$ を満たしているとする.この時,$x\equiv A^{-1}(y-b)$と定義すると$f\left(x\right)=y$であり$(x-v{)}^T\Sigma (x-v)=1$が$y$に代入することで示せる.ゆえに, $$\begin{array}{cc}& \left\{f\right(x)\mid x\in R^n\text{with}(x-v{)}^T\Sigma (x-v)=1\}\\ =& \{y\in R^n\mid (y-(Av+b){)}^T\left(A^{-1}{)}^T\Sigma A^{-1}\right(y-(Av+b))=1\}\end{array}$$ であるので上記は示せた.

0.4.