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1. クイズ

1.1. 思考過程

1.1.1. 問題1

？に入る数字は

(解答)

省略。回答が30、15、86以外だったら恐らく正解

1.1.2. 問題2

Aさん:下の図の問題解いてみて
Bさん:28
Aさん:残念
Bさん:72
Aさん:残念
Bさん:38
Aさん:残念
Bさん:34
Aさん:正解

この会話からBさんが、どのようにして正解にたどり着いたか答えなさい。

また、この会話から推測される正解へのたどり着き方が1つしかない事も示しなさい。

ただし、Bさんは最初の回答より前に、靴(両足)=8、人=5、新聞(2つ)=4であると分かっていたとする。

また、「1つ目の靴が片方」など正解に必要なポイントに気づいているかは会話から推測しなさい。

(模範解答)

この問題において、間違えうるポイントは以下であると仮定する。

• (ポイント1)
  人が靴を履いているのに気づかない

• (ポイント2)
  人が新聞紙を持っているのに気づかない、もしくは新聞紙を2つ持っていると勘違いする

  ※実際は1つ持っている

• (ポイント3)
  最初の靴が片方であることに気づかない

• (ポイント4)
  最後の新聞紙が1つであることに気づかない

また、説明の簡略化の為に問題文を
$$x+y\times z=?$$ と表す。

人=5は奇数、靴や新聞は1つあたり偶数であるので、奇数+偶数は奇数である事に注意すると、「ポイント1、2」に気付く・気づかないに関わらず$y$は奇数であることに注意する。人=5であったので、Bさんは常に$y$は$5$以上の奇数であると考える。

まず、最初の回答($x+y\times z=28$)をどうやって導いたか考える。

この時点で、「最初の靴が片方」であることに気付いたと仮定して矛盾を導く。仮定より$4+y\times z=28$であるはずなので、$y\times z=24=3\times 2^3$。これは$y$が$5$以上の奇数であることに矛盾。ゆえに、この時点では「最初の靴が片方」であることに気付いていない。よって、$8+y\times z=28$より$y\times z=20=5\times 2^2$である。よって、$y=5$であるので、この時点で「人が新聞を持っている」ことに気付いていないし、「人が靴を履いている」ことに気付いてい。また、$z=4$であるので、最後の新聞紙が1つであることにも気付いていないことが分かる。よって、各ポイントについて気づいているか/いないかを整理すると下記の表となる。

続いて、2回目の回答($x+y\times z=72$)について考える。4つのポイントの(気づく/気付かない)の全ての組み合わせを考えると「$x$は4か8のいずれか」、「$5\le y\le 15$ もしくは$y=17$」、「$z$は2か4のいずれか」であるので、$x+y\times z=72$となるのは$y=17,z=4,x=4$の時に限る。すなわち、「人が靴を履いている事に気づくが、新聞を2つ持っていると勘違いする」、「最後の新聞が2つと勘違いする」、「最初の靴が片方であることに気づく」。ゆえに、表は以下のように更新される。

続いて、3回目の回答($x+y\times z=38$)について考える。

2回目の回答時点で「最初の靴が片方であることに気づいている」ので$x=4$である。ゆえに、$y\times z=34=17\times 2$。よって、$y=17$,$z=2$。つまり、2回目から3回目の回答の間では「最後の新聞紙が1つであること」しか追加で気づかなかった。ゆえに、表は以下のようになる。

最後の回答では人が新聞を1個しか持ってないことに気付いて正解にたどり着いた。

作問でこだわったが、模範回答から気づきにくい点

→Bさんの72の回答が無いと、正解へのたどり着き方が2つ存在する

1.2. 線が交わらないように同じ数字を曲線で結ぶ

1.3. アルキメデスの原理を用いる問題

鉄球が入っている容器の中に水銀(液体)を入れると,水銀の密度${\rho }_3$は鉄の密度${\rho }_2$よりも大きいため,鉄球は表面に浮き上がってくる(くぼんでいる).この状況で容器の中に水を入れると鉄球は沈むでしょうか.それとも浮き上がるでしょうか.

(解答)

水の密度を${\rho }_1$とすると密度の関係から$0<{\rho }_1<{\rho }_2<{\rho }_3$が成立する.

水を入れる前の状況で水銀に浸かっている鉄球の体積を$V_1$,水銀に使っていない体積を$V_2$とする.また,水を入れた後に水銀に浸かっている鉄球の体積を$V_1^{\prime }$と置くことにする.

重力加速度を$g$とするとアルキメデスの原理から

${\rho }_2(V_1+V_2)g={\rho }_3{V}_{1}g={\rho }_3{V}_1^{\prime }g+{\rho }_1(V_1+V_2-V_1^{\prime })g$

第二式と第三式を等式変形して,$V_1$に関する項を左辺に$V_1^{\prime }$に関係する項を右辺にもってくると $$({\rho }_3-{\rho }_1)V_1=({\rho }_3-{\rho }_1)V_1^{\prime }+{\rho }_1{V}_2>({\rho }_3-{\rho }_1)V_1^{\prime }$$ となる.最後の不等式は$V_2>0$となるためである.($V_2=0$とならないのは,水を入れる前の状況でアルキメデスの原理を用いれば示せるので略).${\rho }_3-{\rho }_1>0$であることに注意すると$V_1>V_1^{\prime }$であるので鉄球は浮き上がる.

1.4. 卵は何階で割れる?

100階建てのビルのある階から卵を落 とします。卵はある階よりも低ければ割れること はなく、ある階よりも高いと割れてし まう。今、あなたは卵を2つ持っています。卵が何階で割れるかを調べるもっとも 効率のよい方法は何ですか?そして、その方法で必要な卵を落とす 回数は最大で何回ですか?

※具体的な卵を落とす階数は求めなくて良いけど,どうやって求めれば良いかのプロセスは回答するように

(解答)

問題文は100階立てとなっているが,100を$n$階建てのビルに置き換えた時の回答(卵を落とす回数)を$S\left(n\right)$と定義することにする.この時,$1\le m\le n$を満たす任意の階数から卵を落とすことを考える.この時, 卵が割れた場合 $1$~$(m-1)$の階数のいずれかで卵が割れることが分かるが,その階数を判別するために$m-1$回卵を落とす操作が必要(1階,2階,…と順に卵を落とすことになる) 卵が割れなかった場合 $(m+1)$~$n$階で卵が割れるかチェックすれば良いので,$S(n-m)$回の卵を落とす作業が必要

以上より, $$S\left(n\right)=1+\underset{1\le m\le n}{min}max\{m-1,S(n-m\left)\right\}$$

となるので,$n$が小さいものから再帰的に$S\left(n\right)$を求めれば良い

2. 数学雑談

2.1. (数学科じゃない人向け)無限級数のあれこれ

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\cdots ={\sum }_{n=1}\frac{1}{2^n}$