[TOC]

1. 定義

1.1. 各点収束

Def(各点収束)

$S$:集合, $(M,d)$:距離空間,任意の$n\in N_{>0}$に対して$f_n:S\to M$とする.

このとき関数列$\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$が$f:S\to M$に各点収束するとは,

任意の$x\in S$に対して,

$$\underset{n\to \infty }{lim}{f}_n\left(x\right)=f\left(x\right)$$

が成立することをいう.

すなわち任意の$x\in S$と$ϵ>0$に対して,$N\in N_{>0}$が存在して

$$n>N\Rightarrow d\left(f_n\right(x),f(x\left)\right)<ϵ$$

が成立することをいう.

また,単に関数列$\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$が各点収束するとは

関数$f:S\to M$が存在して$\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$が$f$に各点収束することをいう.

1.2. 一様収束

Def(一様収束)

$S$:集合, $(M,d)$:距離空間,任意の$n\in N_{>0}$に対して$f_n:S\to M$とする.

このとき関数列$\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$が$f:S\to M$に一様収束するとは,

任意の$ϵ>0$に対し$N\in N_{>0}$が存在し

$$x\in S,n>N\Rightarrow d\left(f_n\right(x),f(x\left)\right)<ϵ$$

が成立することをいう.

また,単に関数列$\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$が一様収束するとは

関数$f:S\to M$が存在して$\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$が$f$に一様収束することをいう.

1.3. 絶対一様収束

Def(絶対一様収束)

$S$:集合, $(M,\parallel \cdot \parallel )$:ノルム空間,任意の$n\in N_{>0}$に対して$f_n:S\to M$とする.

この時${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n\left(x\right)$が絶対一様収束するとは,

$S_n\left(x\right):={\sum }_{k=1}^n\parallel f_k\left(x\right)\parallel$と定義した時に$\{S_n{\}}_{n=1}^{\infty }$が一様収束することをいう.

2. 定理

2.1. 収束列の定数倍は収束列

$(X,\parallel \cdot \parallel )$を$K$ ($R$ or $C$ )上のノルム空間とする.この時$\{x_n{\}}_{n\ge 1}\subset X$が$x$に収束するなら,任意の$\alpha \in K$に対して$\{\alpha x_n{\}}_{n\ge 1}$は$\alpha x$に収束する

Proof.

$\alpha =0$の時は自明なので,$\alpha \ne 0$に対して示す.任意の$ϵ>0$に対して仮定より自然数$N$が存在して,$n>N$ならば$\parallel x_n-x\parallel <\frac{ϵ}{|\alpha |}$が成立する.よって $$n>N\Rightarrow \parallel \alpha x_n-\alpha x\parallel =|\alpha |\parallel x_n-x\parallel <ϵ$$ より成立.

2.2. 2つの収束列の和は収束列

$(X,\parallel \cdot \parallel )$を$K$ ($R$ or $C$ )上のノルム空間とする.この時$\{x_n{\}}_{n\ge 1}\subset X$が$x$に収束し,$\{y_n{\}}_{n\ge 1}\subset X$が$y$に収束するなら,$\{x_n+y_n{\}}_{n\ge 1}$は$x+y$に収束する

2.3. 一様収束の同値条件

$S$:集合, $(M,d)$:完備な距離空間, $f_n:S\to M$ ($n\in N_{>0}$)

この時以下は同値

(1)関数列$\left\{f_n\right\}$は一様収束

(2)${lim}_{n,m\to \infty }d\left(f_n\right(x),f_m(x\left)\right)=0$

つまり,任意の$ϵ>0$に対して$N\in N_{>0}$が存在して

$$n,m>N,x\in S\Rightarrow d\left(f_n\right(x),f_m(x\left)\right)<ϵ$$

証明の参考資料(日本語)

(Proof)

(1)=>(2)

任意の$ϵ>0$を1つ固定する.$\left\{f_n\right\}$は$f:S\to M$に一様収束しているとすると,$N\in N_{>0}$が存在して $$n>N,x\in S\Rightarrow d\left(f_n\right(x),f(x\left)\right)<\frac{ϵ}{2}$$ が成立する.よって, $$n,m>N,x\in S\Rightarrow d\left(f_n\right(x),f_m(x\left)\right)\le d\left(f_n\right(x),f(x\left)\right)+d\left(f\right(x),f_m(x\left)\right)<ϵ$$ (2)=>(1)

仮定より任意の$x\in S$に対して$\left\{f_n\right(x\left)\right\}$はCauchy列であるので,$M$の完備性より$f_n\left(x\right)$は収束する.よって関数$f:S\to M$を $$f\left(x\right):=\underset{n\to \infty }{lim}{f}_n\left(x\right)$$ によって定義する.

ここで$ϵ>0$を任意に固定する.仮定より$N\in N_{>0}$が存在して $$n,m>N,x\in S\Rightarrow d\left(f_n\right(x),f_m(x\left)\right)<\frac{ϵ}{2}$$ が成立する.ここで任意に自然数$n>N$,$x\in S$をとると$f_n\left(x\right)$は$f\left(x\right)$に収束するので,

$d\left(f\right(x),f_m(x\left)\right)<ϵ/2$を満たす自然数$m>N$が存在する.ゆえに $$d\left(f\right(x),f_n(x\left)\right)\le d\left(f\right(x),f_m(x\left)\right)+d\left(f_m\right(x),f_n(x\left)\right)<ϵ$$

2.4. Mテスト

$S$:集合, $(M,\parallel \cdot \parallel )$:Banach空間(完備なノルム空間), $f_n:S\to M$ ($n\in N_{>0}$)

任意の$x\in S$と任意の$n\in N_{>0}$に対して

$$\parallel f_n\left(x\right)\parallel \le M_n$$

を満たす数列$\{M_n{\}}_{n=1}^{\infty }$で無限級数${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n$が収束しているものが存在するとき,

${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n\left(x\right)$は絶対一様収束する(特に一様収束もする)

(証明の方針)

$S_n:={\sum }_{k=1}^n\parallel f_k\left(x\right)\parallel$と定義し一様収束の同値条件の(2)が成立することを示す.

(Proof)

$ϵ>0$を任意に固定する.${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n$が収束していることから特にCauchy列であるので,$N\in N_{>0}$が存在して. $$n>m>N\Rightarrow \sum _{k=m+1}^n{M}_k<ϵ$$ が成立する.よって,$n>m>N,x\in S$ならば $$|S_n-S_m|=|\sum _{k=m+1}^n\parallel f_k(x)\parallel |=\sum _{k=m+1}^n\parallel f_k\left(x\right)\parallel \le \sum _{k=m+1}^n{M}_k<ϵ$$ より$S_n$は一様収束する.すなわち,${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n\left(x\right)$は絶対一様収束する.

一様収束することは, $$\Vert \sum _{k=m+1}^n{f}_n\left(x\right)\Vert \le \sum _{k=m+1}^n\parallel f_n\left(x\right)\parallel <ϵ$$ より自明(一様収束の同値条件を用いる).

2.5. 各点収束先と一様収束先は一致する

$S$:集合, $(M,d)$:距離空間,任意の$n\in N_{>0}$に対して$f_n:S\to M$とする.

(1)$\left\{f_n\right\}$が$f:S\to M$に各点収束していて,

(2)$\left\{f_n\right\}$が一様収束しているならば,

$\left\{f_n\right\}$は$f$に一様収束している.

(Proof)

$\left\{f_n\right\}$が関数$f^{\prime }:S\to M$に一様収束しているとしてする.

この時,$f\ne f^{\prime }$と仮定して矛盾を導く.

$f\ne f^{\prime }$とすると$f\left(x_0\right)\ne f^{\prime }\left(x_0\right)$となる$x_0\in S$が存在する.

この時,$ϵ:=d\left(f\right(x_0),f^{\prime }(x_0\left)\right)>0$と定義する.

$\left\{f_n\right\}$は$f^{\prime }$に一様収束しているので,$N_1\in N_{>0}$が存在して $$n>N_1\Rightarrow d\left(f_n\right(x_0),f^{\prime }(x_0\left)\right)<\frac{ϵ}{2}$$ が成立する.また,$\left\{f_n\right\}$は$f$に各点収束しているので,$N_2\in N_{>0}$が存在して $$n>N_2\Rightarrow d\left(f\right(x_0),f_n(x_0\left)\right)<\frac{ϵ}{2}$$ が成立する.よって,$n>max\{N_1,N_2\}$を満たす自然数$n$に対して $$d\left(f\right(x_0),f^{\prime }(x_0\left)\right)\le d\left(f\right(x_0),f_n(x_0\left)\right)+d\left(f_n\right(x_0),f^{\prime }(x_0\left)\right)<ϵ$$ が成立するがこれは$ϵ=d\left(f\right(x_0),f^{\prime }(x_0\left)\right)$の定義に矛盾.

2.6. 点列と関数列の極限の交換の定理

Let $(X,d_1)$ be a metric space, $(Y,d_2)$ be a complete metric space, $E\subset X$ and $p\in E^{\prime }$, the set of limit points of $E$. Let $f:E\to Y$, for each $n\in N$, $f_n:E\to Y$ and assume that

(H1) ${lim}_{n\to \infty }{f}_n\left(t\right)=f\left(t\right)$ uniformly on $E$ and

(H2) for each $n\in N$, ${lim}_{t\to p}{f}_n\left(t\right)=A_n$ exists

Then

(a) ${lim}_{n\to \infty }{A}_n=A$ exists and

(b)${lim}_{t\to p}f\left(t\right)=A$. That is, ${lim}_{t\to p}{lim}_{n\to \infty }{f}_n\left(t\right)={lim}_{n\to \infty }{lim}_{t\to p}{f}_n\left(t\right)$

Proof (a)

$A_n$がCauchy列であることを示せば$Y$の完備性より収束することが示せるので,Cauchy列であることを示す.

任意の$ϵ>0$を固定する.$f_n$は$f$に一様収束するので自然数$N$が存在して$E$上の任意の点$t$に対して $$n>N\Rightarrow d_2\left(f_n\right(t),f(t\left)\right)<\frac{ϵ}{4}$$ を満たす.ここで$N$より大きい自然数$n,m$をとると(H2)の条件より$\delta >0$が存在して $$d_1(t,p)<\delta \Rightarrow d_2\left(f_n\right(t),A_n)<\frac{ϵ}{4},d_2\left(f_m\right(t),A_m)<\frac{ϵ}{4}$$ $p$は$E$のlimit pointより$d_1(t,p)<\delta$を満たす点$p\in E$が存在するのでそれを1つ固定すると $$d_2(A_n,A_m)\le d_2(A_n,f_n(t\left)\right)+d_2\left(f_n\right(t),f(t\left)\right)+d_2\left(f\right(t),f_m(t\left)\right)+d_2\left(f_m\right(t),A_m)<ϵ$$ Proof (b)

任意の$ϵ>0$を1つ固定する.条件(H1)より自然数$N^{\prime }$が存在して$E$上の任意の点$t$に対して $$n>N^{\prime }\Rightarrow d_2\left(f_n\right(t),f(t\left)\right)<\frac{ϵ}{３}$$ を満たす.また(a)の結果より自然数$N(>N^{\prime })$が存在して $$n>N\Rightarrow d_2(A_n,A)<\frac{ϵ}{3}$$ となる.$n>N_2(>N_1)$を満たす自然数$n$を1つ固定すると条件(H2)より$\delta >0$が存在して $$d_1(t,p)<\delta \Rightarrow d_2\left(f_n\right(t),A_n)<\frac{ϵ}{3}$$ を満たす.ゆえに $$d_1(t,p)<\delta \Rightarrow d_2\left(f\right(t),A)\le d_2\left(f\right(t),f_n(t\left)\right)+d_2\left(f_n\right(t),A_n)+d_2(A_n,A)<ϵ$$

2.7. 有限和と極限の交換

$(X,\parallel \cdot \parallel )$をノルム空間, $I$を有限集合,$a_{ij}\in X(i\in I,j\in N_{>0})$とする.

(H0)任意の$i\in I$に対して${\sum }_{j=1}^{\infty }{a}_{ij}$が収束するならば,

${lim}_{m\to \infty }\left({\sum }_{i\in I}{\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}\right)$は${\sum }_{i\in I}{\sum }_{j=1}^{\infty }{a}_{ij}$に収束する

(Proof.)

$A_i:={\sum }_{j=1}^{\infty }{a}_{ij}$と定義する.また$I$は空集合ではない(つまり$0<|I|<\infty$)とする.

$ϵ>0$を任意にとる.$I$は有限集合であることと条件(H0)を用いると,自然数$N$が存在して$m>N$ならば任意の$i\in I$に対して $$\Vert \sum _{j=1}^m{a}_{ij}-A_i\Vert <\frac{ϵ}{|I|}$$ が成立する.ゆえに$m>N$ならば $$\Vert \sum _{i\in I}\sum _{j=1}^m{a}_{ij}-\sum _{i\in I}{A}_i\Vert \le \sum _{i\in I}\Vert \sum _{j=1}^m{a}_{ij}-A_i\Vert <ϵ$$

2.8. 有限和と無限和の交換

$(X,\parallel \cdot \parallel )$をノルム空間,$a_{ij}\in X(i\in \{1,\dots ,k\},j\in N_{>0})$とする.

任意の$i\in \{1,\dots ,k\}$に対して${\sum }_{j=1}^{\infty }{a}_{ij}$が収束するならば

$$\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{ij}=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{i=1}^k{a}_{ij}$$

が成立する.

(Proof)

$ϵ>0$を任意に固定する.

仮定より任意の$i\in \{1,\dots ,k\}$に対して${\sum }_{j=1}^{\infty }{a}_{ij}$は収束するので,自然数$N$が存在し,任意の$i$に対して, $$n>N\Rightarrow \Vert \sum _{j=1}^{\infty }{a}_{ij}-\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\Vert <\frac{ϵ}{k}$$ が成立する.よって,$n>N$ならば, $$\Vert \sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^k{a}_{ij}-\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{ij}\Vert =\sum _{i=1}^k\Vert \sum _{j=1}^n{a}_{ij}-\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{ij}\Vert <ϵ$$

2.9. 絶対収束するなら収束する

$(X,\parallel \cdot \parallel )$をBanach空間(完備なノルム空間), 任意の自然数$i$に対して$a_i\in X$とする.

この時${\sum }_{i=1}^{\infty }\parallel a_i\parallel$が収束するなら${\sum }_{i=1}^{\infty }{a}_i$も収束する.

(Proof.)

$S_n:={\sum }_{i=1}^n{a}_i$として$S_n$がCauchy列であることを示せば$X$の完備性より$S_n$が収束することを示せる.$ϵ>0$を任意に1つ固定する.${\sum }_{i=1}^{\infty }\parallel a_i\parallel$が収束するので${\sum }_{i=1}^n\parallel a_i\parallel$はCauchy列でもある.よって自然数$N>0$が存在して$N<m<n$ならば $$|\sum _{i=1}^n\parallel a_i\parallel -\sum _{i=1}^m\parallel a_i\parallel |=|\sum _{i=m+1}^n\parallel a_i\parallel |=\sum _{i=m+1}^n\parallel a_i\parallel <ϵ$$ が成立する.よって $$\Vert \sum _{i=1}^n{a}_i-\sum _{i=1}^m{a}_i\Vert =\Vert \sum _{i=m+1}^n{a}_i\Vert =\sum _{i=m+1}^n\parallel a_i\parallel <ϵ$$ より$S_n$はCauchy列であるので収束する

2.10. 無限和の交換

Interchanging the order of Summation

Let $(X,\parallel \cdot \parallel )$ be Banach space, $a_{jk}\in X$ ($j,k\in N_{>0}$)

If ${\sum }_{j=1}^{\infty }{\sum }_{k=1}^{\infty }\parallel a_{jk}\parallel <\infty$, then ${\sum }_{j=1}^{\infty }{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{jk}={\sum }_{k=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }{a}_{jk}$

The hypothesis really means that

for each $j\in N_{>0}$,${\sum }_{k=1}^{\infty }\parallel a_{jk}\parallel =M_j<\infty$ and ${\sum }_{j=1}^{\infty }{M}_j<\infty$

例えば,有限次元ベクトル空間は任意のノルムに対してBanach spaceになるので,

$X$として$R$,絶対値をノルムとすることで定理を用いることができる.

参考資料 英語)

(Proof)

方針:集合$E$,集積点$p$,関数$f_n$を適切に定めて,点列と関数列の極限の交換の定理を用いる.

$E:=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \}$,$p=0$,任意の$n,m\in N_{>0}$に対して$t_m=\frac{1}{m}$,$f_n:E\to X$を $$f_n\left(t_m\right):=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}$$ と定義する.この時,$f_n\left(t_m\right)$が絶対収束(特に一様収束)することを示す.

任意の$m,j\in N_{>0}$に対して $$\Vert \sum _{k=1}^m{a}_{jk}\Vert \le \sum _{k=1}^m\parallel a_{jk}\parallel \le \sum _{k=1}^{\infty }\parallel a_{jk}\parallel =M_j$$ であり,仮定より${\sum }_{j=1}^{\infty }{M}_j$は収束するのでMテストより$f_n\left(t_m\right)$は絶対収束する.

($f_n\left(t_m\right)={\sum }_{j=1}^n{g}_j\left(m\right)$と見なして定理を適用する)ので,特に$f_n\left(t_m\right)$は一様収束する.

また,任意の$m\in N_{>0}$に対して,$\Vert {\sum }_{k=1}^m{a}_{jk}\Vert \le M_j$であり${\sum }_{j=1}{M}_j$は収束するので,

絶対収束するなら収束するより${\sum }_{j=1}^{\infty }{\sum }_{k=1}^m{a}_{jk}$は収束する.よって,$f:E\to X$を $$f\left(t_m\right):=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^m{a}_{jk}$$ と定義することができる.

次に$f_n$が$f$に各点収束することを示す.

任意の$ϵ>0$と$m\in N_{>0}$を固定する.関数$f$の定義より$N\in N_{>0}$が存在して, $$n>N\Rightarrow \Vert \sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^m{a}_{jk}-\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}\Vert <ϵ\Rightarrow \parallel f\left(t_m\right)-f_n\left(t_m\right)\parallel <ϵ$$ より,$f_n$は$f$に各点収束する.ゆえに,各点収束先と一様収束先は一致するより$f_n$は$f$に一様収束していることが分かる.

また,任意の$j\in N_{>0}$に対して${\sum }_{k=1}^m\parallel a_{jk}\parallel \le M_j$ ($\forall m\in N_{>0}$)であるので上に有界.よって${\sum }_{k=1}^{\infty }\Vert a_{jk}\Vert$は収束するので,特に${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{jk}$も収束する.よって,有限和と極限の交換より, $$\underset{m\to \infty }{lim}{f}_n\left(t_m\right)=\underset{m\to \infty }{lim}\left(\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}\right)=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^{\infty }{a}_{jk}=A_n$$ 次に${lim}_{t\to 0}{f}_n\left(t\right)=A_n$であることを証明する.

任意に$ϵ>0$を1つ固定する.${lim}_{m\to \infty }{f}_n\left(t_m\right)$は$A_n$に収束するので,自然数$N$が存在して, $$m>N\Rightarrow \parallel f_n\left(t_m\right)-A_n\parallel <ϵ$$ ここで $$m>N\iff t_m=\frac{1}{m}<\frac{1}{N}\iff t_m\in \{\frac{1}{N+1},\frac{1}{N+2},\dots \}$$ であるので,$\delta =\frac{1}{N}$とすると, $$(t\in E)\wedge (|t|<\delta )\Rightarrow t\in \{\frac{1}{N+1},\frac{1}{N+2},\dots \}\Rightarrow \parallel f_n\left(t\right)-A_n\parallel <ϵ$$ より証明できた.

これまでの議論より(H1)$f_n$は$f$に一様収束しており,(H2)${lim}_{t\to 0}{f}_n\left(t\right)=A_n$が存在することから,点列と関数列の極限の交換の定理より, $$\underset{n\to \infty }{lim}{A}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\left(\sum _{j=1}^n\underset{m\to \infty }{lim}\left(\sum _{k=1}^m{a}_{jk}\right)\right)=\underset{n\to \infty }{lim}\underset{m\to \infty }{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}=A$$ が存在し, $$\underset{t\to 0}{lim}f\left(t\right)=A$$ が成立,また${lim}_{m\to \infty }f\left(t_m\right)=A$である.実際,任意に$ϵ>0$に対して,${lim}_{t\to 0}f\left(t\right)=A$であるので,正の数$\delta >0$が存在して $$t<\delta \Rightarrow \parallel f\left(t\right)-A\parallel <ϵ$$ であり,自然数$N$を$\frac{1}{N}<\delta$を満たすように1つとると, $$m>N\Rightarrow t_m=\frac{1}{m}<\frac{1}{N}<\delta \Rightarrow \parallel f\left(t_m\right)-A\parallel <ϵ$$ また, $$\underset{m\to \infty }{lim}f\left(t_m\right)=\underset{m\to \infty }{lim}\left(\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^m{a}_{jk}\right)=\underset{m\to \infty }{lim}\left(\underset{n\to \infty }{lim}\left(\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}\right)\right)=\underset{m\to \infty }{lim}\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}$$ であるので $$\underset{m\to \infty }{lim}\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}=\underset{n\to \infty }{lim}\underset{m\to \infty }{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}$$ 次に左辺と右辺を無限級数の形に変形する.

まず左辺について

任意の$k,n\in N_{>0}$に対して, $$\sum _{j=1}^n\parallel a_{jk}\parallel \le \sum _{j=1}^n\sum _{\ell =1}^k\parallel a_{j\ell }\parallel \le \sum _{j=1}^n{M}_j\le \sum _{j=1}^{\infty }{M}_j<\infty$$ であるので,任意の$k\in N_{>0}$に対して,${\sum }_{j=1}^{\infty }\parallel a_{jk}\parallel$は有界であり上限に収束する.よって,${\sum }_{j=1}^{\infty }{a}_{jk}$も収束するので, $$\underset{m\to \infty }{lim}\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}=\underset{m\to \infty }{lim}\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{jk}=\underset{m\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{jk}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{jk}$$

次に右辺について

任意の$j\in N_{>0}$に対して${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{jk}$も収束するのであったから, $$\underset{n\to \infty }{lim}\underset{m\to \infty }{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{jk}=\underset{m\to \infty }{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^{\infty }{a}_{jk}=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{a}_{jk}$$