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1. 教科書

テキスト

※本文中(地球を回転楕円体とする緯度経度の座標変換)の$(N\cos \varphi ,0,-\frac{b^2}{a^2}N\sin \varphi )$は$(N\cos \varphi ,0,\frac{b^2}{a^2}N\sin \varphi )$の誤りである.

2. 内容

2.0.1. 楕円の方程式から2つの焦点からの距離や離心率が一定であることを示す

楕円の方程式から2つの焦点からの距離が一定であることを示す.

$a>b>0$とし楕円の方程式が

$$\begin{array}{}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& \text{(*1)}\end{array}$$

で与えられているとする.($a$を長軸半径semi-major axis, $b$を短軸半径semi-minor axsis)この時$f:=\sqrt{a^2-b^2}$と定義する.(後に焦点距離であることが分かる).また方程式を満たす座標$(x_0,y_0)$を任意にとってくる.このとき,$(x_0,y_0)$とfocus$(f,0)$の距離$r_1$と$(x_0,y_0)$とfocus$(-f,0)$の距離$r_2$の距離の和$r_1+r_2$は$2a$となる.

また,離心率(eccentricity)を$e:=\sqrt{1-(\frac{b}{a}{)}^2}$,準線(Directrix)を$x:=-\frac{a}{e}$と定める. このとき,方程式の任意を満たす任意の座標$(x_0,y_0)$に対して,焦点$(-f,0)$までの距離と準線までの距離の比は$e:1$になる.

(Proof) $$\begin{array}{cc}{r}_2& =\sqrt{(x_0+f{)}^2+y_0^2}\\ & =\sqrt{(x_0+f{)}^2+(1-\frac{x_0^2}{a^2})b^2}\because (\ast 1)\\ & =\sqrt{x_0^2\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2}+2fx+b^2+f^2}\\ & =\sqrt{(\frac{f{x}_0}{a}{)}^2+2f{x}_0+a^2}\because \text{definition of}f\\ & =\sqrt{(\frac{f{x}_0}{a}+a{)}^2}\\ & =\frac{f{x}_0}{a}+a\because \text{we show below}\end{array}$$ ここで楕円の方程式より$|x_0|\le a$であるので$\frac{f{x}_0}{a}+a\ge -f+a\ge 0$.

同様にして$r_1=-\frac{f{x}_0}{a}+a$となるので$r_1+r_2=2a$

参考資料 英語

(Proof2)

$a=\frac{\sqrt{a^2}}{a}\le \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$より$-\frac{a}{e}=-\frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\le -a\le x_0$

$e:1=\sqrt{(x_0+f{)}^2+y_0^2}:x_0+\frac{a}{e}$を示せば十分.$e$の定義より$f=ae$であることと上記の計算より, $$\sqrt{(x_0+f{)}^2+y_0^2}=\frac{f{x}_0}{a}+a=e{x}_0+a$$ 離心率について分かりやすい資料

2.0.2. 楕円の方程式から楕円上の点$(x_0, y_0)$における法線ベクトルを求める.

$a,b>0$楕円の方程式が

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

で与えられているとする.このとき,楕円上の点$(x_0,y_0)$における法線ベクトルは

$$(\frac{2x_0}{a^2},\frac{2y_0}{b^2})$$

である.

(Proof)

野村隆昭著 微分積分学講義 > 6.12 条件付き極値問題(p161)を参考にする

関数$k:R^2\to R$のレベル$t\in R$の等高線$L_t:k(x,y)=t$を考え,曲線$L_t$の法線ベクトルについて考察する.$A(a,b)$が次の3つを満たしているとする.

1. $t=k(a,b)$
2. $k(a,b)$は$A$の近傍で偏微分可能である.
3. $A$は$L_t$の非特異点であるとする.すなわち$g(x,y)=k(x,y)-t$としたときに,$g_x(a,b)=g_y(a,b)=0$は成立しないとする.

ここで$g_y(a,b)\ne 0$と仮定する.陰関数定理より$A$の近傍で$y=\psi \left(x\right)$と解ける.点$A$における$L_t$の接線$l$は,$y=\psi \left(x\right)$の点$A$における接線に他ならないから,$l$の傾きは${\psi }^{\prime }\left(a\right)=-\frac{g_x(a,b)}{g_y(a,b)}=-\frac{k_x(a,b)}{k_y(a,b)}$.したがって,$l$の方向ベクトルは$d:=(1,-\frac{k_x(a,b)}{k_y(a,b)})$であり,関数$k$の勾配$\nabla k(a,b)$との内積を計算すると, $$\nabla k(a,b)\cdot d=0$$ 以上の議論は$k_x(a,b)\ne 0$と仮定しても同様であるから,$\nabla k(a,b)$は$A$での法線ベクトルとなる.

ここで楕円の法線ベクトルについて考える.$k(x,y):=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$,$t=1$を上記の議論に当てはめると,楕円上の点$(x_0,y_0)$は$k(x_0,y_0)=1$を満たし$k_x(x,y)=\frac{2x}{a^2},k_y(x,y)=\frac{2y}{b^2}$であるから$k$は$(x_0,y_0)$の近傍で偏微分可能であり,$k_x(x,y)=k_y(x,y)=0$となるときは$x=y=0$である時に限るから$(x_0,y_0)$は$L_t$非特異点である.ゆえに$\nabla k(x_0,y_0)=(\frac{2x_0}{a^2},\frac{2y_0}{b^2})$は$(x_0,y_0)$における法線ベクトルである.

2.0.3. 楕円のパラメータ表示

$a,b>0$を定数とし,

$$A:=\left\{\right(x,y)\in R^2\mid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\}$$

と定義する.この時$A$の任意の元$(x,y)$に対し$0\le \theta <2\pi$で$x=a\cos \theta ,y=b\sin \theta$を満たす$\theta$が唯一存在する.

(存在性)

$X:=\frac{x}{a},Y:=\frac{y}{b}$と定義すると,$(x,y)$は$A$の元であるので$X^2+Y^2=1$.この方程式は円周を表すので,$0\le \theta <2\pi$で$X=\cos \theta ,Y=\sin \theta$を満たす$\theta$が唯一存在する.このとき,$x=aX=a\cos \theta$,$y=bY=b\sin \theta$である.

(一意性)

$0\le \theta \ne \varphi <2\pi$が$x=a\cos \theta =a\cos \varphi ,y=b\sin \theta =b\sin \varphi$を満たしているとすると, $$(\theta =2\pi -\varphi )\wedge \theta =\{\begin{array}{c}\pi -\varphi \text{if}0\le \varphi \le \pi \\ 3\pi -\varphi \text{if}\pi <\varphi <2\pi \end{array}$$ より矛盾.