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距離空間

1. 参考資料

• 距離空間上のコンパクト集合の同値条件の証明が詳しい(重要な定理及び証明はこのページに記載)pdf,リンク切れ用

2. 定義及び定理

2.1. Def(距離空間)

A metric space is an ordered pair $(M,d)$ where $M$ is a set and $d$ is a metric on $M$, i.e., a function $d:M\times M\to R$ such that for any $x,y,z\in M$, the following holds:

1. $d(x,y)=0\iff x=y$ Identity of indiscernibles
2. $d(x,y)=d(y,x)$ symmetry
3. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ subadditivity or triangle inequality

A metric space $(X,\rho )$ is called discrete metric space if the discrete metric $\rho :X\times X\to R$ is defined by

$$\rho (x,y)=\{\begin{array}{c}\rho (x,y)=1\text{if}x\ne y\\ \rho (x,y)=0\text{if}x=y\end{array}$$

2.2. 閉球は閉集合

Let $(X,d)$ be a metric space. Then we denote a closed ball centered $a\in X$ with radius $r>0$ by ${\overline{B}}_r\left(a\right)=\{x\in X\mid d(a,x)\le r\}$. Then ${\overline{B}}_r\left(a\right)$ is closed.

(proof)開球が開集合であることは容易に示せるのでその主張は認めることにする.${\overline{B}}_r\left(a\right)$に含まれない任意の$b\in X$を1つ固定する.ここで$d\left({\overline{B}}_r\right(a),b)>0$であれば半径を$d\left({\overline{B}}_r\right(a),c)$,中心$c$の開球が${\overline{B}}_r\left(a\right)$と互いに素になるので証明終了となるので$d\left({\overline{B}}_r\right(a),c)=0$と仮定して矛盾を導く.$d\left({\overline{B}}_r\right(a),b)={inf}_{x\in {\overline{B}}_r\left(a\right)}d(x,b)$であるので,任意の自然数$n\ge 1$に対して$d(b_n,b)<\frac{1}{n}$を満たす$b_n\in {\overline{B}}_r\left(a\right)$が存在する.ゆえに, $$d(a,b)\le d(a,b_n)+d(b_n,b)<r+\frac{1}{n}$$ が任意の自然数$n\ge 1$に対して成立するので$d(a,b)\le r$ゆえに$b\in {\overline{B}}_r\left(a\right)$となるが,これは$b$の定義に矛盾

2.3. Def(一様連続)

Given metric spaces $(X,d_1)$ and $(Y,d_2)$, a function $f:X\to Y$ is called uniformly continuous if for every $ϵ>0$, there exists $\delta >0$ such that for every $x,y\in X$ with $d_1(x,y)<\delta$, we have that $d_2\left(f\right(x),f(y\left)\right)<ϵ$.

2.4. 距離関数の一様連続性

Let $(M,d)$ be a metric space, $a\in M$. Then $f:M\to R,x\mapsto d(a,x)$is a uniformly continuous function.

(proof)任意の$x,y\in M$に対して $$d(a,x)\le d(a,y)+d(y,x)d(a,y)\le d(a,x)+d(x,y)$$ であるので,$|d(a,x)\le d(a,y)|<d(x,y)$より$f$は一様連続

2.5. 点と閉集合の距離

Let $(K,|\cdot |)$ be a complete valued field which satisfies that every bounded subset is totally bounded. $C$ Is a nonempty closed subset of finite dimensional normed space $(V,\parallel \cdot \parallel )$ over $K$, and $a\in C$.

Then, there exists $c\in C$ such that $d(a,C)\equiv {inf}_{x\in C}d(a,x)=d(c,x)$

where $d(x,y)=\parallel x-y\parallel (\forall x,y\in V)$

(proof)$C$は空集合でないので$C$から任意に元を1つとり$c_0\in C$とする.この時,$M$の$0$ベクトルを中心,半径を$r=d(0,a)+d(a,c_0)$とする閉球を$B(0,r)$とすると$d(a,C)=d(a,C\cap B(0,r\left)\right)$となる.

実際,$d(a,C)<d(a,C\cap B(0,r\left)\right)$と仮定すると$d(a,c^{\prime })<d(a,C\cap B(0,r\left)\right)$を満たす $c^{\prime }\in C$が存在する.一方,$d(0,c_0)\le d(0,a)+d(a,c_0)=r$であるので$c_0\in C\cap B(0,r)$である.ゆえに$d(a,c^{\prime })<d(a,c_0)$.ゆえに, $$d(0,c^{\prime })\le d(0,a)+d(a,c^{\prime })<d(0,a)+d(a,c_0)=r$$ が成立するので,$c' \in B(\boldsymbol{0},r)$.ゆえに$d(a,c^{\prime })<d(a,c^{\prime })$となり矛盾

ここで,$f:M\to R_{\ge 0}$を$x\mapsto d(a,x)$と定義すると$f$は距離関数の一様連続性より一様連続であるので特に連続.また,$V$上ではコンパクトと有界閉集合は同値であるので(証明はこちら),$C\cap B(0,r)$はコンパクト集合である.ゆえに,連続写像によるコンパクト空間の像に関する定理を用いることで,$f(C\cap B(0,r\left)\right)\subset R$は有界閉集合となるので最小値$f\left(c\right)$を持つ.この時$f$の定義より $$d(a,C)=d(a,C\cap B(0,r\left)\right)=\underset{x\in C\cap B(0,r)}{inf}d(a,x)=inff(C\cap B(0,r\left)\right)=f\left(c\right)=d(a,c)$$

2.6. コンパクトならば有界閉集合

距離空間上で成立していることに注意する.

Let $A$ be a compact subset of a metric space $(X,d)$. Then $A$ is closed and bounded.

(proof) topology without tears >Compactness

2.7. Def(全有界)

A subset $A$ of a metric space $(X,d)$ is said to be totally bounded or precompact if for any $ϵ>0$, there is a finite cover of $A$ by sets of diameter less thant $ϵ$.

A subset $A$ of a metric space $(X,d)$ is totally bounded if and only if for each $ϵ>0$, $A$ can be covered by finitely many $ϵ$-balls.(容易に示せるため証明略)

2.8. Def(Balzano-Weierstrass-property)

A subset $A$ of topological space $X$ is said to satisfy the Balzano-Weierstrass property if every infinite subset of $A$ has a limit point in $A$.

2.9. Def(点列コンパクト)

A subset of $A$ in metric space $(X,d)$ is said to be sequentially compact if every sequence in $A$ has convergent subsequence in whose limit point is in $A$.

2.10. Def(ルベーグ数)

Let $C$ be a cover of a subset $A$ of a metric space $X$. A Lebesgue number for $C$ is a positive number $\lambda$ such that any subset of $A$ of diameter less than or equal to $\lambda$ is contained in some member of $C$.

• From the definition, if $\lambda$ is a Lebesgue number, then so is any ${\lambda }^{\prime }>0$ such that ${\lambda }^{\prime }\le \lambda$.

2.11. 点列コンパクト集合の開被覆にはルベーグ数が存在する

Let $A$ be a sequentially compace subset of a metric space $(X,d)$. Then every open cover of $A$ has a Lebesgue number.

(Proof)

$C$を$A\subset X$の開被覆とする.$C$がルベーグ数を持たないと仮定して矛盾を導く.仮定より任意の自然数$n$に対して $$\text{diam}\left(B_n\right)\le \frac{1}{n},B_n⊈G(\forall G\in C)$$ を満たす$B_n\subset A$が存在するので$x_n\in B_n\subset A$が取れる.$A$は点列コンパクトであるので$\left\{x_n\right\}$の収束部分列$\left\{x_{n_k}\right\}$と収束先$x\in A$が存在する.$C$は$A$の開被覆であるので$x\in G_0$を満たす$G_0\in C$が存在する.$G_0$は開集合であるので,$ϵ>0$が存在して$B_d(x,ϵ)\subset G_0$が成立する.また,$\left\{x_{n_k}\right\}$の収束性より,自然数$N$が存在して, $$k>N\Rightarrow d(x_{n_k},x)<\frac{ϵ}{2}$$ が成立する.ここで,$\frac{1}{M}<\frac{ϵ}{2}$を満たす自然数$M$の1つ固定して,$K\equiv max\{M+1,N+1\}$と定義する.この時$n_K\ge K\ge N+1$が成立するので, $$d(x_{n_K},x)<\frac{ϵ}{2},x_{n_K}\in B_{n_K}$$ となる.さらに $$\text{diam}\left(B_{n_K}\right)\le \frac{1}{n_K}<\frac{ϵ}{2}$$ が成立する.よって任意の$y\in B_{n_K}$に対して, $$d(x,y)\le d(x,x_{n_K})+d(x_{n_K},y)<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$ が成立するので$y\in B_d(x,ϵ)$.ゆえに $B_{n_K}\subset B_d(x,ϵ)\subset G_0$となるが,これは$B_{n_K}$の定義に矛盾.

2.12. 全有界と任意の点列がコーシー部分列を持つことは同値

A subset $A$ of a metric space $(X,d)$ is totally bounded if and only if every sequence in $A$ has a Cauchy subsequence.

(Proof)

($\Leftarrow$)$A$上の任意の点列がCauchy subsequenceを持つと仮定する.この時,$A$がtotally boundedでないとすると矛盾が生じることを示す.$A$がtotally boundedでないのだから,ある$ϵ>0$が存在して$A$が有限個の半径$ϵ$のballで被覆できない.つまり,任意の自然数$n\in N_{\ge 0}$に対して,$x_{n+1}\in A\setminus {\bigcup }_{i=1}^n{B}_d(x_i,ϵ)$を満たす点列$\left\{x_n\right\}$がとれる.($A$から任意に元をとって$x_0$とする)この時,$m>n$ならば$x_m\notin B_d(x_n,ϵ)$であるので$d(x_m,x_n)\ge ϵ$.よって$\left\{x_n\right\}$はCauchy subsequenceを持たないので矛盾

($\Rightarrow$)$A$がtotally boundedだと仮定する.$\left\{x_n\right\}\subset A$を任意にとる.$A$がtotally boundedであるのだから,任意の自然数$k\in N_{>0}$に対して,以下の手順によって点列$\{x_{kn}{\}}_n$を$k=1$から順に構成する.

初期値として$\{x_{0n}{\}}_n\equiv \{x_n\}$, $B_0=A$とする.

$B_{k-1}$はtotally boundedであるので,直径が$1/k$より小さい$A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{k{n}_k}$が存在して,$B_{k-1}={\bigcup }_{i=1}^{n_k}{A}_{ki}$となる.$A_{k1},\dots ,A_{k{n}_k}$のうち少なくとも1つは$\{x_{(k-1)n}{\}}_n$の点列を無限個含んでいるので,それを$B_k\subset B_{k-1}$とする.また$B_k$に含まれる$\{x_{(k-1)n}{\}}_n$の部分列を$\{x_{kn}{\}}_n$とする.この時以下が成立しているので,$\{x_{(k+1)n}{\}}_n$を同様の操作によって構成することができる.

• $B_k\subset B_{k-1}$であり$B_{k-1}$がtotally boundedであるので$B_k$もtotally bounded
• $\text{diam}{B}_k<\frac{1}{k}$
• $\{x_{kn}{\}}_n\subset B_k$は$\{x_{(k-1)n}{\}}_n$の部分列

この時,点列$\{x_{11},x_{22},\dots ,x_{nn}\}$は$\left\{x_n\right\}$の部分列であり(単調する添字が$\left\{x_n\right\}$上で単調増加になっていることに注意),任意の$ϵ>0$に対して,$\frac{1}{N}<ϵ$を満たす$N$をとると,$m,n>N$ならば,$x_{mm}\in B_m\subset B_N$,$x_{nn}\in B_n\subset B_N$であるので $$d(x_{mm},x_{nn})\le \text{diam}{B}_N<\frac{1}{N}<ϵ$$ よって,$\{x_{nn}{\}}_n$はCauchy subsequence of $\left\{x_n\right\}$.

2.13. 距離空間におけるコンパクトの同値条件

In a metric space $(X,d)$, the following statements are equivalent:

1. $A\subset X$ is compact;
2. $A\subset X$ has the Bolzano-Weierstrass property:
3. $A\subset X$ is sequentially compact;
4. $A\subset X$ is complete and totally bounded.

$\left(3\right)\Rightarrow \left(4\right)$complete性は自力で示せると思うので証明略.また,距離空間上では収束列はCauchy列であるので,全有界と任意の点列がコーシー部分列を持つことは同値よりtotally boundedであることも容易に示せる.

$\left(4\right)\Rightarrow \left(3\right)$は全有界と任意の点列がコーシー部分列を持つことは同値を使えば容易に示せる.

$\left(1\right)\Rightarrow \left(2\right)$ $S\subset A$をininite subsetとする.$S$が$A$上でlimit pointを持たないと仮定する.任意の$x\in A$に対して,$V_x\cap S\setminus \left\{x\right\}=\varnothing$を満たすような$x$のopen neighborhoodが存在する.この時$C\equiv \{V_x\mid x\in A\}$はopen cover of $A$.$A$はcompactであるので finite subcover $\{V_{x_1},\dots ,V_{x_n}\}$が存在する.また,$V_{x_i}$は最大でも$S$の元を1つしか持たないため,${\bigcup }_{i=1}^n{V}_{x_i}(\supset A\supset S)$は有限個の$S$の元を含む.従って,$S$は有限集合となるので矛盾.

$\left(2\right)\Rightarrow \left(3\right)$$\left\{x_n\right\}\subset A$を任意にとり$S\equiv \{x_n\mid n\in N_{>0}\}$と定義すると,Case1, Case2のどちらかが成立するので場合分けして考える.

Case1($S$ がfinite)無限個の自然数$n$に対して$a=x_n$を満たす$a\in A$が存在する.自然数の任意の部分集合には最小元が存在するので,$n_1\equiv min\{n\in N\mid x_n=a\}$が存在する.同様に$k\ge 2$ に対しても,$n_k\equiv min\left(\right\{n\in N\mid x_n=1\}\setminus \{n_1,\dots ,n_{k-1}\left\}\right)$を定めることができる.この時,点列$\left\{x_{n_k}\right\}$はconstant subsequence of $\left\{x_n\right\}$であり$a\in A$に収束する.

Case2($S$がinfinite)$A$はBolzano-Weierstrass propertyであるので,$S$のlimit point $x\in A$が存在する.limit pointの定義より,任意の自然数$n$に対して,$B_d(x,\frac{1}{n})\cap (S\setminus \{x\left\}\right)\ne \varnothing$である.(空集合でないというだけでなく,infinite setである)よって,任意の$k\ge 2$に対して, $$n_1\equiv min\{n\in N_{>0}\mid x_n\in B_d(x,1)\cap (S\setminus \left\{x\right\}\left)\right\}$$

$$n_k\equiv min\{n\in N_{>0}\mid x_n\in B_d(x,\frac{1}{k})\cap (S\setminus \left\{x\right\}\left)\right\}$$

を定めることができる.この時,$\left\{x_{n_k}\right\}$は $\left\{x_n\right\}$のsubsequcenceであり,任意の自然$k$に対して$d(x_{n_k},x)<\frac{1}{k}$であるので$\left\{x_{n_k}\right\}$は$x$に収束する.

$\left(3\right)\Rightarrow \left(1\right)$$C$を点列コンパクトである$A$の開被覆とする.点列コンパクト集合の開被覆にはルベーグ数が存在するので$C$のルベーグ数$\lambda >0$が存在する.また$\left(3\right)\Rightarrow \left(4\right)$より$A$は全有界であるので,$A\subset {\bigcup }_{i=1}^n{A}_i,\text{diam}\left(A_i\right)\le \lambda$を満たす$A_1,\dots ,A_n\subset A$が存在する.またルベーグ数の定義より,任意の$i\in \{1,\dots n\}$に対して$A_i\subset G_i$を満たす$G_i\in C$が存在する.ゆえに,$A\subset {\bigcup }_{i=1}^n{G}_i$となるので,$A$はコンパクトである.

2.14. Def(等長写像isometry)

Let $(X,d_X)$ and $(Y,d_Y)$ are metric spaces. Then A map $f:X\to Y$ is called an 等長写像(isometry) or distance preserving if for any $a,b\in X$ one has $d_Y\left(f\right(a),f(b\left)\right)=d_X(a,b)$.

• 等長写像(isometry)は一様連続(uniformly continuous)

2.15. 等長写像は単射

$f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)$ を等長写像とする.この時$f$は単射

(Proof)

$f$が単射でないとすると$a\ne b$かつ$f\left(a\right)=f\left(b\right)$が存在する.一方で距離の定義から,$d_X(a,b)>0$, $d_Y\left(f\right(a),f(b\left)\right)=d_Y\left(f\right(a),f(a\left)\right)=0$となるので,$f$が等長写像であることに矛盾.

2.16. 全射な等長写像の開集合の像と引き戻しは開集合

$f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)$ を全射である等長写像とする.この時,任意の開集合$A\subset X$の像$f\left(A\right)$は開集合,任意の開集合$B\subset Y$の引き戻し$f^{-1}\left(B\right)$は開集合

(Proof)

$A\subset X$を開集合とする.任意に$y\in f\left(A\right)$を固定する.$f$は全射であるので$x\in A$が存在して$f\left(x\right)=y$を満たす.$A$は開集合であるので$ϵ>0$が存在して$B_X(a,ϵ)\subset A$となる.また,$f$は等長写像(isometry)で全射なので$f\left(B_X\right(x,ϵ\left)\right)=B_Y\left(f\right(x),ϵ)$.よって,$B_Y\left(f\right(x),ϵ)=f\left(B_X\right(x,ϵ\left)\right)\subset f\left(A\right)$より$f\left(A\right)$は開集合.同様の議論を行うことで任意の開集合$B\subset Y$の引き戻し$f^{-1}\left(B\right)$は開集合である事が示せる(証明略)