0.1. コレスキー分解の補足

Assume $K=R\text{or}C$, $A\in K^{(n+1)\times (n+1)}$ is positive definite and Hermite. Write

$$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)$$

with $a_{11}\in K,A_{21}=A_{12}^{\ast }$, and $A_{22}=K^{n\times n}$, and define the Schur complement of $A$ with respect to $a_{11}$ as

$S=A_{22}-\frac{1}{a_{11}}{A}_{21}{A}_{12}$.

Then also $S$ is positive definite and Hermite.

Proof.

$A$はpositive definiteより,主行列式(minor of a matrix $A$)は全て正であるので特に$a_{11}$は正.よって$S$は定義できることに注意.エルミート性(Hermite)は自明であるので,positive definiteであることのみ示す.

任意に$x\in K^n\setminus \left\{0\right\}$をとり,$y\in K^{n+1}$を以下のように定義する. $$y=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{a_{11}}{A}_{12}x\\ x\end{array}\right)$$ この時$y\ne 0$であるので$A$の正定値性から$y^{\ast }Ay>0$である.一方,Schur complementの定義より $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{a_{11}}{A}_{21}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& 0\\ 0& S\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{a_{11}}{A}_{12}\\ 0& I\end{array}\right)$$ であることに注意すると, $$\begin{array}{cc}{y}^{\ast }Ay& =\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{a_{11}}{x}^{\ast }{A}_{12}^{\ast }& x^{\ast }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{a_{11}}{A}_{21}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& 0\\ 0& S\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{a_{11}}{A}_{12}\\ 0& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{a_{11}}{A}_{12}x\\ x\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}0& x^{\ast }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& 0\\ 0& S\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ x\end{array}\right)\\ & =x^{\ast }Sx\end{array}$$ よって,$S$はpositive definiteである.

0.2. コレスキー分解

Let $K=R\text{or}C$

An invertible matrix $A\in K^{n\times n}$ admits a Choleskey factorization $A=L{L}^{\ast }$ with a lower triangular matrix $L\in K^{n\times n}$, if and only if $A$ is Hermite and positive definite.

(Proof)

$A=L{L}^{\ast }$と表せたとする.$A$のHermite性は簡単に示せるので省略.positive definite性のみ示す.$x\in K^n\setminus \left\{0\right\}$を任意にとると $$x^{\ast }Ax=\parallel L^{\ast }x{\parallel }_2^2$$ である.また$A$はinvertibleであるので$detA\ne 0$である.よって, $$0\ne detA=detL{L}^{\ast }=detLdet{L}^{\ast }=\parallel det{L}^{\ast }{\parallel }^2$$ であるので,$det{L}^{\ast }\ne 0$.ゆえに$L^{\ast }$はinvertibleであるので$L^{\ast }x\ne 0$.よって$x^{\ast }Ax>0$,つまり$A$はpositive definite.

次に$A$がHermiteかつ正定値である時に$A=L{L}^{\ast }$を満たす.lower trianguler matrix $L\in K^{n\times n}$が存在することを$n$に関する帰納法で示す.

[1] $n=1$のとき

$A=\left(a\right)$とすると,$A$が正定値であることから,主行列式(minor of a matrix $A$)は全て正であるので特に$a>0$.よって,$L=\left(\sqrt{a}\right)$と置けば良い.

[2] $n$のとき成立していると仮定するとき,$n+1$でも成立することを示す. $$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)$$ with $a_{11}\in K,A_{21}=A_{12}^{\ast }$, and $A_{22}=K^{n\times n}$, $$S=A_{22}-\frac{1}{a_{11}}{A}_{21}{A}_{12}$$ と定義する.この時コレスキー分解の補足より$S\in K^{n\times n}$は正定値エルミート行列である.よって,帰納法の仮定より$S=L_S{L}_S^{\ast }$を満たすlower triangular matrix $L_S\in K^{n\times n}$が存在する.$A$が正定値であることから$a_{11}>0$であることに注意すると $$L\equiv \left(\begin{array}{cc}\sqrt{a_{11}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt{a_{11}}}{A}_{21}& L_S\end{array}\right)$$ とすることでlower triangular matrix $L$を定義することができて,簡単な計算から$L{L}^{\ast }=A$を示せる.